初等数论毕业论文题目

1. 因为(k,n)=d，则存在整数s, t，使得ks+nt=d.
所以a^(ks)=1(mod m)
a^(nt)=1(mod m)
a^d=a^(ks+nt)=1(mod m)

2. 因为当(b,a)=1当且仅当(a-b, a)=1.
用如同高斯求1+2+......+100相同的方法可知：
和=1/2 *(a-b+b) *φ(a)=1/2 *a*φ(a).

3. 需要证ax+b(x取遍m的完全剩余系)是m的完全剩余系。
因为ax+b=ay+b(mod m)
当且仅当a(x-y)=0(mod m)
当且仅当m|a(x-y).
因为(a,m)=1.
所以m|x-y.
即x=y(mod m).
所以所求式子=1/m+2/m+......+(m-1)/m=1/2 *(m-1).

4. 接上题：
所求式子=a/m+2a/m+......+(m-1)a/m-1/2 *(m-1).
=1/2 *(m-1)(a-1).

5. 先看第6题，证明(p-1)!=-1(mod p).
因为p-a=-a(mod p).
所以(p-1)!=(((p-1)/2)!)*(-(p-1)/2)*......*(-2)(-1)
=(((p-1)/2)!)^2 * (-1)^((p-1)/2).
=-1(mod p).
所以(((p-1)/2)!)^2+(-1)^((p-1)/2)=0(mod p).

6. (p, p-1)=1.
(p-1)!=0(mod p-1).
下面证(p-1)!=-1(mod p).
p=2, 3时成立；p>=5时：
首先对于任意a(2<=a<=p-2)，存在唯一的b(2<=b<=p-2)，使得ab=1(mod p).
对于a、2a、......、(p-1)a这p-1个数中，它们两两mod p不同余。
否则存在i、j（i、j不相等）使得ia=ja(mod p).
p|a(i-j).
p|i-j.
则i=j，矛盾。
又因为ia mod p不为0，
所以a、2a、......、(p-1)a这p-1个数中，mod p是1~p-1的一个排列，
所以存在唯一的b(1<=b<=p-1)，使得ab=1(mod p).
又因为a与(p-1)a mod p都不为1，所以2<=b<=p-2.
这样，将每个a、b进行配对a1、b1、a2、b2......
2*3*......*(p-2)=(a1*b1)(a2*b2)......=1(mod p).
所以(p-1)!=1*1*(p-1)=-1(mod p).
综上(p-1)!=p-1(mod p(p-1)).

7. x^y=y^(x-y).
显然x-y>=0.
若x=y，则x^x=x^0=1. 则x=1, y=1.
若x>y，则y<x-y, x>2y.
设x=ky，k>2.
则k^y * y^y=y^((k-1)y).
ky=y^(k-1).
k=y^(k-2).
y=k^(1/(k-2)).
根据求导发现函数f(k)=k^(1/(k-2))在k>2递减，
而f(k)->正无穷(k->2), f(3)=3, f(4)=2, f(k)->1(k->正无穷).
所以k=3, 4时对应两组解：x=9, y=3; x=8, y=2.
且k>4时无解。
下面证2<k<3时无解即可。
因为k=x/y是有理数，设k=p/q, (p, q)=1.
所以y^(k-2)=k
y^(p/q -2)=p/q.
y^(p-2q)=(p/q)^q.
当q不为1时，左边是整数，右边不是整数，矛盾。
综上：x=1, y=1; x=8, y=2; x=9, y=3.

8. 5^x-3^y=2.
x=y=1是一组解.
当x>1, y>1时：
原式mod 4：
1-(-1)^y=2(mod 4).
y=1(mod 2).
原式mod 9：
5^x=2(mod 9).
x=5(mod 6).
原式mod 7：
因为当x=5(mod 6)时，5^x=3(mod 7).
所以3^y=1(mod 7).
所以y=0(mod 6).
与y是奇数矛盾。
综上只有一组解x=y=1.

急急急!初等数论题目求解(高分献上)

1,
16k + 11 = 15k + k + 11, k = 3,
16*3 + 11 = 15*3 + 14 = 45 + 14 = 59,
59 + 15*16*m = 13*4 + 7 + (13+2)*(13+3)m = 13*4 + 7 + 13(5 + 13)m + 6m
= 13(18m + 5) + 6(m-1), m = 7,
59 + 15*16*7 = 1739
1739 + 13*15*16n, n = 0,1,2,... 满足要求。

2，
3^(2009) = 3*(3^2)^(1004) = 3*(10-1)^(1004)
= 3*[10^(1004) - 1004*10^(1003)+ ... + 1004*1003*10^2/2 - 1004*10 + 1]
3^(2009) = 3*[-1004*10 + 1] (mod100)
= 3[1 - 10040] (mod100)
= 3[1 - 40] (mod100)
= 3*61 (mod100)
= 183 (mod100)
= 83 (mod100)

3,
正整数a,b互质的充要条件是关于x,y的方程ax + by = 1有整数解。
因此，ax + by = c 有整数解的充要条件是 c为a,b 的最大公约数。

4，
Legendre(a/p)=0, if a = 0 (modp);
Legendre(a/p)=+1, if a不等于0，且对于某个整数x, x^2 = a (modp)
Legendre(a/p)=-1, 若不存在整数x,使得x^2 = a (modp).
Legendre(482/503)=Legendre(2/503)*Legendre(241/503)
Legendre(2/503) = (-1)^[(503^2 - 1)/8] = (-1)^[502*504/8] = (-1)^[251*126] = 1,
Legendre(241/503) = (-1)^[(241-1)*(503-1)/4]*Legendre(503/241)
= (-1)^[240*502/4]*Legendre(21/241)
= Legendre(3/241)*Legendre(7/241)
= (-1)^[(3-1)*(241-1)/4]*Legendre(241/3)*(-1)^[(7-1)*(241-1)/4]*Legendre(241/7)
= (-1)^[2*240/4]*Legendre(1/3)*(-1)^[6*240/4]*Legendre(3/7)
= Legendre(1/3)*Legendre(3/7)
= 1*(-1)^[(3-1)*(7-1)/4]*Legendre(7/3)
= (-1)^[2*6/4]*Legendre(1/3)
= (-1)*1 = -1.

娘啊，累惨了。。休息一哈。。

5,
512^50 = (11*45 + 17)^50 = 17^50 (mod45)
= 289^25 (mod45) = (45*6 + 19)^25 (mod45) = 19^25(mod45)
= 19*361^12(mod45)=19*(8*45+1)^12(mod45) = 19(mod45)

6,
[2009/3] + [2009/3^2] + [2009/3^3] + [2009/3^4] + [2009/3^5] + [2009/3^6] 【[]表示取整运算哈】
= 669 + 223 + 74 + 24 + 8 + 2
= 1000

7,
x = 5

求初等数论大神

（1）

考察n=0,1,2.....7时，n除以7的余数
n 0 1 2 3 4 5 6
n3 0 1 1 -1 1 -1 -1
而n3≡(n+7k)3 (mod7)
∴对于任意n，均有n3≡0,±1 (mod7)
即 任一完全立方数均可写成7k或7k±1的形式
（2）
n可为任一整数（过程有点复杂，但是和第一小题差不多，需要分类讨论）

初等数论求助！

题目的意思就是用27与15线性组合，得到6，这是数论的典型题。
即：27x+15y=6
9x+5y=2
(9,5)=1 |2 必定有解。
题目数字小，直接可以观察出来特解。
但如果观察不出来，就通过求最大公约数的过程得出一个特解：
9=5+4
5=4+1　出现公约数“1”即可反推：　
公约数1＝5-4＝5*2-9
所以有：2＝5*4-9*2　即6=15*4-27*2
（x,y)=(-2, 4)即得一个特解。通解是（-2+5t, 4-9t）, t是任意整数。