第1篇:论高等数学之极限思想

　　极限是高等数学最基本的概念之一，极限思想是近代数学的一种很重要的数学思想，是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学极限思想，本文从极限的定义、极限思想的价值、教学中如何渗透极限思想几个方面进行了简要论述。

　　1、极限的概念

　　1.1数列极限：设 为一个数列，a为一常数，若 ，总存在一个正整数N，使得当 时，有 ，称a是数列 的极限。

　　1.2函数极限：函数 在点a的某去心邻域内有定义，A为常数，若 ，总存在一个正数 ，使得当 时，有 ，称A是当x趋向于a时函数 的极限。

　　出于不同需要，还引进了不同意义下的极限概念，比如在集论中引进了集列的上、下极限的概念，在无穷级数论中引进级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及在函数逼近论中引进了一致逼近、平均逼近等的极限概念.无论怎样定义，本质都是一样的，都是从有限观念发展到无限观念的过程。

　　2、极限思想的价值

　　极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的关系，通过极限思想，我们可以从有限来认识无限，以直线近似代替曲线，以不变认识变化，从量变认识质变。极限思想具有创新作用，它广泛用于微分方程、积分方程、函数论、概率极限理论、微分几何、泛函分析、函数逼近论、计算数学、力学等领域。

　　生活中的例子：一张饼，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，……这样，这张饼能吃完吗?显然吃不完，饼越来越小，但还是有的。只能说，这张饼的极限为零，但绝不是零。这就是一种极限思想的具体写照。

　　极限思想十分重要，贯穿整个数学体系，恰当的应用极限思想可以将一些问题简化，学生灵活运用极限思想意义重大。

　　3、将极限思想渗透到课堂教学中

　　3.1课堂上介绍一些体现极限思想的典故

　　哲学家庄周在《庄子天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，将木棰长度的变化看作为一个无限的过程中去研究，古代数学家刘徽割圆术中“割之弥细，所失弦少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”也体现了极限思想。通过这些有趣的小故事，让学生从中体验和感受极限思想的妙处，激发兴趣。

　　3.2讲授新知识时渗透极限思想

　　在教学中，讲授新知识的同时体现极限思想，比如求曲线的切线斜率、圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形面积、曲顶柱体的体积等都是通过极限思想得以引入课题并解决问题的，还有空间集合体中圆柱、圆锥之间相互转化，圆锥是圆柱的上底逐渐缩小的一种极限状态，体现了一种动态的极限思想。

　　3.3体现极限思想的数学概念

　　高等数学中的许多概念都是利用极限来描述的，体现极限思想的数学概念比比皆是，下面就列举几个：

　　(1)函数连续的概念中用到极限式：

　　(2)导数的概念中有极限式：

　　(3)定积分的概念也是通过分划、取近似、求和、取极限得到的：

　　(4)无穷区间上的广义积分的定义也是通过有限区间的定积分取极限得到的：

　　(5)级数的收敛性也是用极限式定义的：若级数 的部分和数列极限存在，即 ，称级数收敛。

　　(6)无穷小的定义也是用极限来描述的：若有 ，称 为此变化过程中的无穷小。

　　(7)二元函数 在有界闭区域D上的二重积分定义也用到了极限，

　　(8)二元函数 在曲线L上的第一型曲线积分也是用极限定义的：

　　(9)多元函数偏导数也是用极限来定义的，

　　关于x的偏导数为： ，关于y的偏导数类似。

　　4、解决问题时利用极限思想

　　高等数学中的许多问题都是通过极限的思想方法来解决的，下面简单的举两个例子。

　　(1)如何求平面上曲边梯形的面积?

　　通过极限思想方法，利用无限分割，以直代曲、用无数个小矩形面积无限逼近曲边梯形的面积通过取极限最终来解决这个问题;

　　(2)如何求圆面积?

　　我们可以设定情境，利用极限思想方法，通过圆内接正多边形，无限增加内接正多边形的边数，利用内接正多边形的面积无限逼近圆面积的方法来解决的;

　　物体的瞬时速度、平面曲线的弧长、曲顶柱体的体积等问题都是利用极限思想方法解决的。教师在教学中恰当选取问题，利用极限思想解决问题，教学效果事半功倍，提高学生用极限思想方法解决相关问题的能力。

　　结束语

　　综上所述，极限思想是高等数学教学中的重难点，贯穿整个高数体系，在教学中教师要有意识的将极限思想渗入，通过恰当的方法让学生理解极限的概念和思想方法，让学生体会极限思想的妙处，体会“以直代曲、化零为整、化圆为方、以不变代变、以有限找无限”等的极限思想，提高学生应用极限思想方法解决问题的能力。

　　作者：谷亮 来源：建筑工程技术与设计 2015年10期

　　第2篇:高等数学中极限思想的应用

　　本文通过系统阐述极限理论在数学理论发展中的重要作用，说明了在高等教学中加强数学极限思想的必要性.

　　极限是高等数学中的一个非常重要的概念，极限思想贯穿于高等数学的各个部分.因此，理解极限概念所蕴涵的数学思想方法，对掌握高等数学中的其他概念有很大的帮助.

　　纵观数学的发展史，当初牛顿、莱布尼兹在创立微积分时取得了极其重要的创造性的成果，但由于缺乏清晰严格的“极限”和“无穷小”的概念，未能把微积分建牢固的基础上.之后数学界展开了一场长达十多年的关于微积分奠基问题的大论战.通过这场论战，大批数学家对微积分基础概念做了深入探讨，促进了微积分理论基础的建设.正是由于极限理论的完善，微积分才取得最后的胜利.而微积分的主要理论基础是极限论，高等数学中的导数、积分、级数、敛散、甚至数学中最基本的实数概念都要以极限概念为基础来建立.理解了极限的思想方法，掌握了极限的基本运用，以及有关它的一些重要性质，有助于学生理解其他数学概念，把握不同数学概念之间的本质联系.下面我就高等数学中的几个重要概念所蕴涵的极限思想作分析，以供教学参考.

　　一、导数的概念

　　导数概念不是数学家凭空想象出来的，而是从解决客观实际问题的过程中概括抽象出来的.要了解导数概念所蕴涵的数学思想方法，我们还是通过导数概念的引入来探讨.

　　几乎所有高等数学教材关于导数概念的引入都是通过求物体运动的瞬时速度和曲线的切线斜率.两个例子，虽然意义不同，但分析问题、解决问题的方法则是相同的，取得结论的方式也是一致的.它们都是刻画一个变量对另一个变量的变化快慢速度，也就是因变量对自变量的变化速度.舍弃这些例子各自的意义，抽出其共同的数学本质，即得到导数的概念：

　　称该级数收敛，S是该级数的和.若该级数的部分数列发散，则称该级数发散，此时该级数没有和.级数收敛的概念真正解决了无限小数是一个数理论问题.随着绝对收敛概念的建立，无限和运算结合律、交换律、分配率的成立范围在理论上才得以明确.同样借助极限，函数项级数一致收敛概念建立后，函数级数每项具有的分析性质，即连续性、可积性、可微性与其和函数间才建立了必然联系，无限和运算分别与极限运算、定积分运算、求导运算交换次序成为可能.

　　以上仅借助于导数的概念、定积分的概念和级数敛散性定义说明在高等数学中极限思想的应用.事实上，其他类型的极限概念可以通过类似法进行处理.在教学过程中，再辅以恰当的实例，使学生清楚、牢固地掌握极限概念、性质，以及相应的极限思想和方法.

　　作者：夏立标 来源：考试周刊 2013年77期