为培养一批理论基础扎实、专业应用性强的统计学专业的学生，对其专业基础课程数学分析和概率论进行相应的教学改革。不仅在两门课程各自的教学中调整了内容重点，渗透相关知识点在统计学后继专业课程中的应用，而且在两门课程同步教学的过程中，合理安排了教学内容的顺序，相互渗透两门课程的知识。在统筹安排下，我们进行了数学分析和概率论的课程改革。

　　一、统计学专业数学分析课程改革的研究

　　数学分析内容经典，体系完整，理论推理严密，既对培养学生数学思维有着重要的作用，也为统计学后继课程提供必要的基础知识和应用工具。在数学分析的教学过程中，除了在教学理念中突出数学分析的思想性和增强应用能力，在教学内容中抓住主要内容，融入建模思想，增设实验课程，以及在教学方法中按学生能力，采用分层等教学改革外，我们结合统计学专业的特点，从以下几个方面进行教学改革的研究。

　　第一，调整课程教学的重点。统计学专业以培养理论基础扎实，专业应用性强的学生为目标。在数学分析的教学中，对重要知识点深入讲解，使学生理解其思想，并通过例题加深体会；而对过于繁杂的证明可适当降低要求，且对一些知识点在几何、物理中的应用部分可作为学生课下自学内容。例如在讲授“实数的完备性”这一章的内容时，授课时重点讲解定理的思想，而对定理的证明适当降低要求，并且证明部分在数学分析第三学期讲授。这样安排一方面是由于统计学专业的学生对数学理论证明的要求并不是很高，另一方也可以避免学生在数学分析学习的前期因繁杂的证明而失去信心和兴趣，而且可以在有限的课时内讲解更多的例题、以及数学分析知识点在统计学中的应用。例如在学习“定积分的性质和计算”之后，讲解定积分在统计学中的应用，而对于定积分在几何以及物理中的应用略讲。诸如利用定积分求平面曲线的弧长与曲率，旋转曲面的面积等几何应用部分，以及利用定积分求液体静压力，引力等物理应用部分安排作为学生课下自学内容。同样，在讲解隐函数定理、重积分等的应用时，对其在几何、物理中的应用略讲，而讲解其在统计中的应用。这样，一方面可以增强统计学专业学生学习的兴趣，感受到数学分析的基础性作用，另一方面让学生提前感受统计学的相关专业知识和应用。

　　第二，渗透数学分析知识在统计学中的应用。比如在讲授“微分中值定理”、“泰勒公式”、“极值定理”、“定积分”、“隐函数定理”、“傅里叶级数”时，可渗透其在统计学中的应用。在介绍知识点和性质之后，以例题的形式讲解这些知识在统计学中的应用。例如在“多元函数极值问题”的教学中，以一元线性回归模型参数的最小二乘估计为例题，讲解极值判别法在统计学中的应用，并且提出有实际应用背景方面的例题，比如销售收入和广告费用支出之间的关系。这样既使学生了解了数学建模的方法，又使学生体会到了数学分析的奇妙，增强了学习的兴趣。例如在讲解“导数的运算”时，以数理统计学的最大似然估计中对似然函数求导取得最值点为例题，渗透导数知识在统计学中的应用；在讲解“高阶导数”时，以时间序列分析中的ARIMA模型为例题，渗透高阶求导在时间序列分析中的应用；在讲解“一致连续性”时，以概率统计中特征函数为例题，证明特征函数的一致连续性。这样，既使学生体会到数学分析对统计学专业课程的重要性，又使学生提前了解了统计学中的部分知识点及其应用，增强了学生学习数学分析和统计学课程的兴趣，提高了学习的主动性。

　　第三，调整课程教学内容的顺序。为加开更多的应用型统计专业课程，在统计学专业的培养计划中，概率论课程开设在大学一年级第二学期，数理统计课程开设在大学二年级第一学期。这便需要对先修课程数学分析的进度安排加以调整，以便适应后继专业课程的开设。例如学生在学习概率论中“多维随机变量及其分布”的相关知识之前，在数学分析中已经学习了重积分的概念、性质和计算，因而在数学分析三个学期的教学中，应合理调整讲授内容的顺序。具体安排如下：讲解了一元函数的极限和微积分后，介绍多元函数的极限、微分学和重积分，之后再讲授数项级数、函数项级数和幂级数的知识；对于实数的完备性部分仅在数学分析第一学期中讲授定理的思想和应用，而将定理的证明部分安排在第三学期讲解；对于曲线积分、曲面积分、含参量积分部分，安排在第三学期讲授，同时隐函数定理、傅里叶级数也安排在第三学期讲授。这样调整数学分析课程教学内容的顺序，既可以使得概率论、数理统计等课程正常开展，又可以兼顾数学分析知识体系本身的系统性和完整性。

　　第四，在数学分析的教学中开设专题。在数学分析第三学期的教学中，学生已经学习了概率论的相关知识，可开设“数学分析方法在概率论中的应用”、“数学分析方法在统计学中的应用”、“概率论方法在数学分析中的应用”等专题。在专题课上，可通过归纳总结、引入相关例题的方式，介绍数学分析知识在概率论、数理统计、回归分析、时间序列等中的应用；同样也可介绍用概率论方法解决极限问题、无穷级数问题、积分问题、恒等式与不等式问题等。通过这些专题使学生体会到数学各学科间千丝万缕的联系，感受到数学的奇妙，增强了学生的学习兴趣。

　　二、统计学专业概率论课程改革的研究

　　概率论是随机数学的典型代表，其理论性强，内容抽象，应用广泛。结合统计学专业特点，从以下几个方面进行教学改革的研究。

　　第一，在教学中运用案例教学法，融入数学建模的思想。一方面精心挑选具有实际背景的例题，使学生在学习中感受到概率论广泛的应用性，激发学生的求知欲和学习的兴趣；另一方面，在知识点和例题的讲解中，尽量以具体数字代替抽象的数学符号，避免因符号的抽象性而带来学生理解难度的增大，降低概率论在教学过程中的抽象性。

　　第二，调整课程教学的重点，并且渗透概率论知识在统计学中的应用。我们将从以下四个方面进行教学改革。（1）重点讲解在统计学后继专业课程中使用较多的知识点，并通过例题让学生深入体会这些知识点的内涵和应用。例如“贝叶斯公式”、“二项分布”、“泊松分布”、“正态分布”、“指数分布”、“随机变量函数的分布”、“相关系数”、“大数定律”和“中心极限定理”等知识点。（2）对于一些极限定理，授课时重点讲解定理和性质的思想，并通过例题使学生理解其内涵，学会其应用的方法；而对于证明部分，可适当降低要求，或采取学生课下自学的方式。例如“概率的上（下）连续性”相关性质的证明，常用的几个“大数定律”的证明和“中心极限定理”的证明。（3）由于授课对象为统计学专业的学生，对一些概率论中的非核心内容而在后继统计学专业课程中比较重要的知识点要详细讲解。例如“伽玛分布”、“蒙特卡罗法”（由随机变量函数的性质获得产生随机数的方法）、“分位数”等内容。（4）在概率论课程的教学中，渗透概率论知识在统计学中的应用。例如讲解“中心极限定理”在大样本检验中的应用，“二项分布”在符号检验中的应用，“超几何分布”在Brown-Mood中位数检验中的应用，“Lindburg-Levy中心极限定理”在正态随机数的产生和数值计算误差分析中的应用。

　　第三，在概率论课程上，适当提前讲解部分数学分析的知识。虽然在数学分析课程的教学改革中，对数学分析课程教学内容的顺序进行了调整，但是为了保证概率论课程的正常进行，仍需在概率论课上提前讲授数学分析的部分知识点。例如在讲解“概率的公理化定义”和“离散型随机变量数学期望”时，经过教学改革调整后的数学分析课程还未讲授数项级数部分，这便需要在概率论课程上提前讲解级数的定义和绝对收敛的相关知识。这些讲解无需深入，只需满足概率论课程的正常开展即可。

　　第四，开设处理实际生活中随机问题的专题。通过介绍一些处理概率论问题中既有趣又有用的新思想、新方法与新内容，开阔学生的视野。例如可开设“分赌注问题”、“抽牌游戏”、“信封与信配对问题”、“人寿保险问题”、“乘客等车时间问题”、“下电梯问题”、“价格预测”等专题。

　　三、概率论与数学分析方法的相互应用

　　虽然数学分析与概率论是数学的两个不同分支，但数学分析的发展为概率论奠定了基础，而概率论中随机性、反因果论也推动着数学分析的发展。二者的紧密结合性不仅体现在学科发展上，而且在教学上也有着相辅相成的意义。

　　（一）在数学分析教学中融入建模思想，引入用概率解题的方法

　　概率论思维与一般数学思维的结构类同，通过建立适当的模型，应用概率方法不仅能解决一些随机的数学问题，而且还可以解决一些确定的数学问题。寻找并归纳总结概率方法、模型和概率论中相关定理在数学分析中的应用，比如用概率论知识方法解决极限问题、无穷级数问题、积分问题、恒等式与不等式问题等。将一些确定性的问题转化为随机性的问题，使得数学分析中某些比较繁杂的问题得以高效、简捷地解决，以期激发学生的学习兴趣，使学生从中体会到数学的奇妙所在。例如用“蒙特卡罗方法”计算定积分（随机投点法），利用“随机变量分布函数”的性质简化积分的计算等。在下述数学分析求重积分的例题中，用普通的近似方法无法求解，而利用概率论中的“大数定律”可获得n重积分（n很大时）的极限值。

　　例题：设G■=x■，x■，…，x■？摇x■■+x■■+…+x■■≤■，0≤x■，x■，…，x■≤1，求极限■■■dx■dx■…dx■.

　　解：设随机变量序列ξ■，n=1，2，…独立同分布，在0，1上服从均匀分布，则有Eξ■=■，Dξ■=■.因此■■■dx■dx■…dx■

　　=Pξ■■，ξ■■，…，ξ■■∈Gn=Pξ■■+ξ■■+…+ξ■■≤■■

　　=P■ξ■■+ξ■■+…+ξ■■？摇≤■

　　=P■ξ■■+ξ■■+…+ξ■■？摇-Eξ■？摇≤■

　　≥P■■ξ■■-Eξ■■？摇？摇≤■

　　由于ξ■独立同分布，故ξ■■独立同分布。运用辛钦大数定律，知：

　　■P■■ξ■■-Eξ■■？摇？摇≤■=1

　　从而得到■P■ξ■■+ξ■■+…+ξ■■？摇-Eξ■？摇≤■=1.即：

　　■■■dx■dx■…dx■=1.

　　（二）在概率论教学中体会数学分析的思想内涵，增强学生的学习兴趣

　　概率论是研究随机现象统计规律性的一门学科，有广泛的应用性。但同时，自Kolmogrov提出公理化体系之后，概率论中用以解决实际问题主要是通过分析手段。概率论是在数学分析课程的基础上进行教学的，学生在概率论的学习中可巩固数学分析的基础知识，在概率论数学化论证和严密的推理中进一步体会数学分析的内涵，理解数学分析解决问题的思维方式，使知识整体化、系统化。例如，在概率论中讲授“分布函数”时，学生可巩固数学分析中“无穷积分”的知识；在讲授“泊松分布”时，学生可体会“泰勒展开”的意义；在讲授“正态分布的数学期望与方差”时，学生可通过积分求值■■■e■dx=■的计算过程对数学分析知识有所巩固提高；在讲授“连续随机变量函数的分布”时，学生可巩固“变上限积分”的知识；在讲授“Γ分布”时，学生可认识到“欧拉积分”的重要性；在讲授“连续随机变量的条件分布”时，学生可体会“积分中值定理”的应用。

　　在概率论教学中，不仅要帮助学生从中体会数学分析的思想内涵，而且通过概率论的实际解题，帮助学生体会到了数学分析的基础性作用，增强了学生的学习兴趣。例如在处理“配对问题”——“在一个有n个人参加的晚会上，每个人带了一件礼物，且假定各人带的礼物都不相同。晚会期间各人从放在一起的n件礼物中随机抽取一件，问至少有一个人自己抽到自己礼物的概率是多少”时，通过概率的加法公式可得到至少有一个人自己抽到自己礼物的概率为1-■+■-■+…+-1■■。当n≥5时，计算较为繁杂，这时若用e■的泰勒展开，便可得到此概率的近似值，极大地简化了计算。

　　总之，通过在探索中不断实践，在实践中不断探索，能够很好的进行统计学专业基础课程《数学分析和概率论》的教学改革。

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　　来源：教育教学论坛 2015年40期

　　作者：张美娟